Name it.って名前をつけること？

“Sure. Name it.“

言ってごらん、言ってみて

“Name it.”と聞くと、「それに名前をつけて」または「それの名前を言って」という意味かと思ってしまいますが、ここでは、そういう意味ではないんですが、“name”には、「～に名前をつける；～の名前を言う」という意味のほかに、「～を示す、挙げる；～を指定する」などという意味です。

ですから、“Name it.”と言うと、「それを挙げて」とか「それを示して」ということから、「言ってごらん」または「言ってみて」などという意味です。
相手から「条件がある」または「頼みがあるんだ」などと言われた場合の返答として用いられる表現ですので、“Name it and it’s yours.”と言うと、「言ってみて。そうすれば、それは君のものだよ」ということから、言ってくれれば何でもするよ」などという意味です。

“Can you do me a favor?”
「お願いを聞いてくれる？」
“Sure. Name it.”
「もちろん。言ってみて。」