Don’t put words into my mouth.って口に言葉を入れる？

“Let me speak, don’t put words into my mouth”

言いもしないことを言ったなんて言わないで

“put words into somebody’s mouth”を直訳すると、「言葉を（人）の口の中に入れる」という意味ですが、「言うべき言葉を（人）に教える」または「（人）が言いもしないことを言ったことにする」
などという意味にもなります。

“Don’t put words into my mouth.”と言うと、「そんなこと言ってないよ」とか「言いもしないことを言ったなんて言わないで」という意味でも使えます。

“I didn’t say that! Don’t put words into my mouth.”
「そんなこと言ってないよ。言いもしないことを言ったなんて言わないで」