I’ve been tied up.って大忙しの意味？

“I’m sorry it took me so long to get back to you.I’ve been tied up with work.“

忙しくて・最近

“tie up”というと、「（物）を縛る」という意味が真っ先に思い浮かびますが、“tie somebody up”を受動態にして、“be tied up”とすると、「（人が）忙しくて他のことをする時間がない」という意味ですが、“be tied up”「（手足を）縛られて身動きが取れない」という状態から連想するにしたら、分かりやすいだと思います。

“I’ve been tied up.”で、「最近、忙しくて」という意味になります。“be tied up with ～”とすると、「～で忙しくて他のことをする時間がない」という意味です。

例えば、“I’ve been tied up with work.”「最近、仕事で忙しかった」とか“I’ve been tied up with family affair.”「最近、家庭の問題で忙しかった」とか「忙しい」と言う場合に、いつも“busy”と言うだけではちょっと芸がないですから、こういった別の表現も使われています。

“I’m sorry it took me so long to get back to you.I’ve been tied up with work.”
「連絡するのに時間がかかっちゃってごめんなさい。最近、仕事で忙しかったものだから」