You can count on me.ってどういうこと？

“No problem. You can count on me.”

任せておいて

“count on ～”には、「～を頼りにする、～を期待する、～を当てにする」という意味ですが。“You can count on me.”を直訳すると、「あなたは私を当てにすることができる」または「あなたは私を頼りにすることができる」という意味、「当てにしていいよ」、「任せておいて」または「期待していいよ」などという意味です。

“You can trust me.”「任せてよ」も、同じような意味になりますね。

また、命令形で、“Count on me.”や“Trust me.”と言っても、同じ意味になります。

“Can you do me a favor?”
「お願いがあるんだけど」
“Sure, what is it?”
「いいよ、何なの？」
“Can you look after my dog for the weekend?”
「週末、犬の世話をしてもらえるかな？」
“No problem. You can count on me.”
「問題ないよ。任せておいて」